Diagrama De Arbol

                                                        DIAGRAMA DE ARBOL
El Diagrama de Arbol es una grafica que resulta util para organizar los calculos que comptrenden varias etapas.  Cada segmento en el Arbol es una  etapa del problema.  Las ramas de un diagrama de arbol se ponderan por medio de probabilidades.

Es una grafica que resulta util para organizar los calculos que comprenden varias etapas.

Es una representacion grafica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y respectivas probabilidades.

Un diagrama de arbol es un metodo grafico para identificar todas las partes necesarias para alcanzar algun objetivo final.

PASOS PARA CREAR UN DIAGRAMA DE ARBOL
1. Para construir un diagrama de arbol, empezamos por dibujar un punto grueso del lado izquierdo para representar la raiz del arbol.

2. Abrir a partir del mismo, tantas ramas como elementos tenga el punto A.

3. A partir de cada una de estas, tantas ramas como elementos tenga el conjunto B.

4.Leer el conjunto ordenado resultante sobre cada secuencia de ramas.

EJEMPLO Y SOLUCION 

1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden

estar los pacientes de este médico?

Solución: Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;

MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc.

2. Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado este torneo,

EJEMPLO DE DIAGRAMA DE ARBOL IMAGENES  



 2. EJEMPLO #2

 

3. EJEMPLO #3

 


Cuando se quiere calcular la probabilidad de sucesos de experimentos compuestos son  muy útiles  los diagramas de árbol cuyas ramas nos indican las distintas posibilidades.

VENTAJA : Hay una mejor visualizacion de alternativas de rutas a seguir en un dado proceso

DESVENTAJA :Cuando el proceso es sumamente largo y tedioso. (Mejor utilizar otro método mas eficiente y aparte corto en tiempo)

Solución:

A = gana el equipo A

B = gana el equipo B

En este diagrama se muestran que hay solo diez maneras de que se gane el torneo, que se obtienen contando las ramas terminales de este diagrama de árbol, las que es posible enumerar;

                                       

                                               AA, ABB, ABAA, ABABA, ABABB, etc.

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

                                    PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 

PERMUTACION:La formula de la permutacion se aplica para encontrar el numero posible de arreglos cuando solo hay un grupo de objetos.
Para ilustrar este tipo de problema:
* Tres partes electronicas se van a armar en una cantidad complementaria para un televisor.  Las partes pueden armar en cualquier orden.  La deuda es: ¿de cuantas maneras diferentes se pueden armar a las tres partes?
* El operador de una maquina debe realizar cuatro revisiones de seguridad antes de encenderla.  No importa en que orden las haga.¿En cuantas formas el operador puede hacer las revisiones?

El orden para la primera ilustracion podria ser: primero el transitor, en segundo lugar las LED y en tercero el sintelizador.  A esta distribucion se le conoce como PERMUTACION.

PERMUTACION: Cualquier distribucion de r objetos seleccionados deun solo grupo de n objetos posibles.
Observe que las distribuciones a b c y b a c  son permutaciones diferentes. La formula para contar el numero total de permutaciones diferentes es:

Formula de permutacion       
                                             nPr= n!      como n=1 = n!
                                                   (n-r)!  
        p es el numero de permutaciones.
        n es el numero total de objetos.
        r es el numero de objetos seleccionados.
Antes de resolver los dos problemas que ilustramos, observe que las permutaciones y combinaciones ( que estudiaramos en breve) utilizan una notacion llamada n factorial. Se expresa como n! y significa el producto de n(n-1) (n-2) (n-3)...(1).  POR EJEMPLO 
                                                                         5!=5*4*3*2*1=120.
Como se muestra a continuacion, los numeros se pueden cancelar cuando los mismos numeros se incluyen en el numerador y el denominador. 
                                                    6!3! = 6*5*4*3*2*1(3*2*1) = 180
                                                     4!               4*3*2*1 
Por definicion, cero factorial, que se escribe 0!, es 1.  Es decir, 0! = 1

Ejemplo  y Solucion
Refiriendonos al grupo de tres partes electronicas que se van a armar en cualquier orden, ¿ De cuantas formas diferentes se pueden armar?
Hay tres partes electronicas que se tienen que armar, de modo que n=3. Como las tres se tienen que insertar en la unidad complementaria, r=3.  La solucion utilizando la formula da:
                                   nPr=    n!  = 3!      =  3! =  3! = 6 
                                 (n-r)!    (3-3)!    0!       1       
Podemos revisar el numero de permutaciones al que llegamos utilizando la formula de la permutacion. Determinamos cuantos Espacios se tienen que llenar a las posibilidades para cada las tres partes.
Para el primer lugar hay tres posibilidades, dos para el segundo (uno ya se uso) y uno para el tercero, como sigue:                                    (3)(2)(1)= 6 permutaciones
Las seis maneras de distribuir las tres partes electronicas, con las letras A, B, C, son:
                     
                          ABC                BAC            CAB           ACB           BCA     CBA   
En el ejemplo anterior, seleccionamos y ordenamos todos los objetos, es decir n=r.  En muchos casos, solo se seleccionan y ordenan algunos de los objetos entre los n posibles.  En el ejemplo siguiente explicamos los detalles de esta aplicacion.

Ejemplo y Solucion 
The Betts Machine Shop, inc., tiene ocho tornos, pero solo tres espacios en el area de produccion disponibles para las maquinas. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden distribuir los ocho tornos en los tres espacios disponibles? 
Hay ocho posibilidades para el primer espacio disponible en el area de produccion, siete para el segundo (una ya se utilizo) y seis para el tercero. Por tanto: 
                                                                               (8)(7)(6)= 336, 
es decir, hay un total de 336 combinaciones posibles.  Este resultado tambien se podria cdalcular utilizando la formula de permutacion . Si n=8 tornos y r=3 espacios disponibles, la formula nos lleva a 
                                           
                                                      n Pr = n! = 8!      = 8! =(8)(7)(6)5!  =336 
                                              (n-r)!  (8-3)!    5!        5!            


COMBINACIONES
Si el orden de los objetos seleccionados no es importante, a cualquier seleccion se le llama COMBINACION. La formula para contar el numero de r combinaciones de objetos en un conjunto de n objetos es:

FORMULA DE COMBINACION 
                                                            N PR=           n!      
                                                                        r!(n-r)!       
Por ejemplo, si los ejecutivos Able, Baker y Chauncy se van a elegir  como un comite para negociar una fusion, solo hay una combinacion posible con estos tres; el comite de Able, Baker y Chauncy es el mismo que el comite de Baker, Chauncy y Able. Utilizando la formula de la combinacion:
                nCr =        n!      = 3*2*1       = 1 
                         r!(n-r)!         3*2*1(1)